(xy)*=x*y*
複素数x,yの積xyの複素共役(xy)*がx*y*になるか気になったので確かめてみる。
x=x1+ix2
y=y1+iy2
として
xy
=(x1+ix2)(y1+iy2)
=x1y1+ix1y2+ix2y1-x2y2
=x1y1-x2y2+i(x1y2+x2y1)
(xy)*
=x1y1-x2y2-i(x1y2+x2y1)
x*y*
=(x1-ix2)(y1-iy2)
=x1y1-ix1y2-ix2y1-x2y2
=x1y1-x2y2-i(x1y2+x2y1)
ゆえに
(xy)*=x*y*
であることが確かめられた。
xy*=0ならx*y=0なのかも確かめてみる。
xy*
=(x1+ix2)(y1-iy2)
=x1y1+x2y2+i(-x1y2+x2y1)
=0
のとき
x1y1+x2y2=0
-x1y2+x2y1=0
x*y
=(x1-ix2)(y1+iy2)
=x1y1+x2y2+i(x1y2-x2y1)
ゆえに
xy*=0
なら
x*y=0
となる。
(xy*)*=x*yなのだから当然ではある。
これらから何が言えるかというと、cを複素数、a>をケットベクトルとすると、ca>を複素共役にして転置したもの、つまり(ca>)*の転置はブラベクトルc*
