関数f=f(x,y)がある。
全微分は
df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy
だから、dfの2階の場合は
d^2f=d(df)
=(∂/∂x)((∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy)dx+(∂/∂y)((∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy)dy
=(∂^2/∂x^2)dx^2+(∂^2/∂x∂y)dydx+(∂^2/∂y∂x)dxdy+(∂^2/∂y^2)dy^2
=(∂^2/∂x^2)dx^2+2(∂^2/∂x∂y)dxdy+(∂^2/∂y^2)dy^2
となる。
x=x(t) , y=y(t)
と置ける場合
d^2f/dt^2
=(∂^2/∂x^2)(dx/dt)^2+2(∂^2/∂x∂y)(dx/dt)(dy/dt)+(∂^2/∂y^2)(dy/dt)^2
ということになる。
