S.ラング『解析入門　原書第3版』にあった問題

S.ラング『解析入門　原書第3版』（岩波書店）

p-481
問題8.(a)
gをrの関数とし、r＝||X||、X=(x,y,z)とする。またf(X)=g(r)とする。
そのとき、
(dg/dr)^2=(∂f/∂x)^2+(∂f/∂y)^2+(∂f/∂z)^2
を示せ。

（答）
r=√(x^2+y^2+z^2)

∂f/∂x=(df/dr)(∂r/∂x)=(dg/dr)(∂r/∂x)
∂f/∂y=(df/dr)(∂r/∂y)=(dg/dr)(∂r/∂y)
∂f/∂z=(df/dr)(∂r/∂z)=(dg/dr)(∂r/∂z)

∂r/∂x=2x(1/2)(x^2+y^2+z^2)^(-1/2)=x/√(x^2+y^2+z^2)
∂r/∂y=y/√(x^2+y^2+z^2)
∂r/∂z=z/√(x^2+y^2+z^2)

(∂f/∂x)^2+(∂f/∂y)^2+(∂f/∂z)^2
=((dg/dr)^2)(∂r/∂x)^2+((dg/dr)^2)(∂r/∂y)^2+((dg/dr)^2)(∂r/∂z)^2
=((dg/dr)^2)(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)
=(dg/dr)^2

∴
(dg/dr)^2=(∂f/∂x)^2+(∂f/∂y)^2+(∂f/∂z)^2