論理学の練習問題 自然演繹 述語論理

(1)　∀x(Fx→Gx)├ ∃xFx→∃xGx

　　∀x(Fx→Gx)
　　──────　 1
　　　Fa→Ga　　　Fa
　　　────────
　　　　　　Ga
　2　　　────
∃xFx　　　∃xGx
───────── 1
　　　∃xGx
　────── 2
　∃xFx→∃xGx

(2)　∃x(Fx→Gx) ≡ ∀xFx→∃xGx

(a)　∃x(Fx→Gx) ├ ∀xFx→∃xGx
　　　　　　　　　　　2
　　　　　　　　　　∀xFx
　　　　　　1　　　───
　　　　　Fa→Ga　　Fa
　　　　　────────
　　　　　　　　Ga
　　　　　　　───
∃x(Fx→Gx)　　∃xGx
──────────── 1
　　　　　∃xGx
　　　────── 2
　　　∀xFx→∃xGx

(b)　∀xFx→∃xGx├ ∃x(Fx→Gx)

　
∀xFx→∃xGx
──────
　Fa→∃xGx
──────
∃xFx→∃xGx
──────
∃x(Fx→Gx)