論理学 実質含意のパラドックスの証明

実質含意のパラドックスとは
(1)　p→(q→p)
(2)　¬p→(p→q)
といった論理式のことである。
(1)は、pならば、qならばpである。(2)は、pでないならば、pならばqである。となる。
→（ならば）という記号は、日常言語の「ならば」とは意味が微妙に異なり、前件が偽かまたは後件が真の時に真になる関係を表す。これを実質含意という。質量含意ともいう。
これらの式は恒真であり、pやqがどんな命題であっても成り立ち、pが真でも偽でも構わず、qの真偽には依存しないから、パラドックス的に感じられるのである。

（証明）

(1)　p→(q→p)
　　1
　　p
　───
　p∨¬q　　
　───
　q→p
─────　1
p→(q→p)

(2)　¬p→(p→q)
　　1
　¬p
────
¬p∨ｑ
────
　p→q
──────　1
¬p→(p→q)