論理学の練習問題 命題論理

スマリヤン『決定不能の論理パズル―ゲーデルの定理と様相論理』p.57に載っている練習問題3。

命題p3が次の2つの命題の論理的帰結であることを示せ。

(1)　p1≡¬p2
(2)　p2≡(p1≡¬p3)

（解答）
命題XとYについて、X→Yが常に真ならばYはXの論理的帰結である。
(1)と(2)から命題
((p1≡¬p2)∧(p2≡(p1≡¬p3)))→p3
が常に真であることを確かめればいいのだが、真理値表にして考えてみると、まず(1)と(2)から
¬p1≡(p1≡¬p3)
として

p1	¬p1	p1≡¬p3	¬p3	p3
1	0	0	0	1
0	1	1	0	1

となってp3は常に真なので、後件p3が常に真なのだから、命題全体も常に真になり、p3が(1),(2)の論理的帰結であることが分かる。

決定不能の論理パズル―ゲーデルの定理と様相論理

（追記）
普通に、p1,p2,p3で、8通りの場合を真理値表で確かめるのが面倒なので、ちょっと手を抜いたやり方にしました。