論理学の練習問題 様相論理

□（p→q）≡¬◇（p∧¬q）
（pならばqであることが必然であるとは、pかつqでないことが可能でない、と同値である。）

（証明）

p→q≡¬（p∧¬q）
なので（＊1参照）
□（p→q）=□¬（p∧¬q）
□は¬◇¬で置き換えることが出来るので（＊2参照）
□¬（p∧¬q）=¬◇¬（¬（p∧¬q））
右辺は¬が打ち消しあうので
¬◇¬（¬（p∧¬q））=¬◇（p∧¬q）
∴
□（p→q）≡¬◇（p∧¬q）