(123)×(123)=(132)
要素が3つ並んでいる時、置換(123)を、1番目を2番目に、2番目を3番目に、3番目を1番目に移動させる置換とする。
置換(132)は、1番目を3番目に、3番目を2番目に、2番目を1番目に移動させる置換である。
置換(123)を続けて行うことを(123)×(123)とし、それは置換(132)に等しい。
試してみる。
要素をabcとし、置換(123)を行うと
cab
となる。
それにもう一度置換(123)を行うと
bca
となる。
abcに置換(132)を行うと
bca
となる。
これで(123)×(123)=(132)が確かめられた。
逆に
(132)×(132)=(123)
であることも確かめられる。
さて、置換を何かしら「数」のようなものだと考えて、(123)=x、(132)=yと置いてみると
x^2=y
y^2=x
となり、ここから
(x^2)^2=x
x^4=x
x^3=1
となるので
xは1の3乗根に相当するような何かということになる。yも同様。
1の3乗根は、1、(-1+i√3)/2、(-1-i√3)/2 である。（iは虚数単位）
