量子力学の交換関係

［r,p］=rp-pr
で
p=-iℏ∂/∂r
としたとき
［r,p］=rp-pr
=-iℏ(r(∂/∂r)-(∂/∂r)r)
=-iℏ(r(∂/∂r)-1)
となって、なんだか計算が変で、交換関係がiℏにならないと思ったら、これは演算子だから次のようにすれば分かり易かった。
実際に何かに作用させてみればいいのである。作用されるものをψと置くと、
(rp-pr)ψ
=-iℏ(r(∂/∂r)-(∂/∂r)r)ψ
＝-iℏ(r(∂ψ/∂r)-(∂/∂r)rψ)
＝-iℏ(r(∂ψ/∂r)-(∂r/∂r)ψ-r(∂ψ/∂r))
=-iℏ(r(∂ψ/∂r)-ψ-r(∂ψ/∂r))
=-iℏ(-ψ)
=iℏψ
となる。
ゆえに
［r,p］=rp-pr
=iℏ
となり、交換関係iℏが成り立つ。