三囚人問題
三囚人問題という一種のパズルがある。次のような問題である。
三人の囚人A、B、Cがいる。三人とも処刑されるはずだったが、恩赦があってそのうち一人だけが釈放されることになった。囚人Aは看守に「BとCのうちどちらかが処刑されることは確かだから、処刑される方を教えてくれ」とこっそり頼んだ。看守はBと答えた。Aは「はじめ、釈放される確率は1/3だったが、いまや釈放されるのは自分かCかのどちらかだから確率は1/2だ。これで希望が持てた」と喜んだ。Aの考えのどこがおかしいのか。看守から話を聞いた後のAの助かる確率はいくらなのか。ただし看守は嘘をつかないものとする。
これはベイズの定理によって解ける。
ベイズの定理とは次の公式である。
（→ベイズの定理）
P(H|D)=P(D|H)×P(H)/P(D)
ここで、P(H|D)はDという条件のもとでHが起こる確率、P(D|H)とはHという条件のもとでDが起こる確率、P(H)はHが起こる確率、P(D)はDが起こる確率で、P(H|D)を事後確率、P(D|H)を尤度、P(H)を事前確率という。
この公式に先の問題を当てはめてみると次のようになる。
P(Aが釈放される|Bが処刑という答えが得られた場合)
=P(Bが処刑という答え|Aが釈放される場合)×P(Aが釈放される)/P(Bが処刑という答え)
さて、Aが釈放される場合、処刑されるのはBかCであり看守がどちらを答えるかはそれぞれ五分五分なので
P(Bが処刑という答え|Aが釈放される場合)=1/2
Aが釈放される確率（事前確率）は1/3なので
P(Aが釈放される)=1/3
看守がBが処刑されると答えるのはどのような場合かと考えてみると、Cが釈放される場合は必ずそう答え、またAが釈放される場合の半分でもそう答えるので、それぞれの確率を足して、
P(Bが処刑という答え)=1/3+(1/2)×(1/3)
ゆえに
P(Aが釈放される|Bが処刑という答えが得られた場合)
=(1/2)×(1/3)/(1/3+(1/2)×(1/3))
=1/3
すなわち、Aが釈放される確率は、Bが処刑されるという看守の答えを聞いた後も、当初の1/3から変化していないということになる。Aの期待はぬか喜びだったわけだ。
ここで、変形三囚人問題として、A、B、Cが釈放される確率（事前確率）を1/3ずつから、A : B : C=1/4 : 1/4 : 1/2に重みを変えてみる。Cの方がA、Bに比べて2倍釈放されやすくするわけである。あとは先の問題と同様とする。そうして数値を代入すると
P(Aが釈放される|Bが処刑という答えが得られた場合)
=(1/2)×(1/4)/(1/2+(1/2)×(1/4))
=1/5
となって、なんと、Aが釈放される確率は、当初の確率1/4から1/5に減少してしまうのだ。計算ではそうなるとしても、直感的、感覚的には納得しづらい結果である。Bが処刑されるという情報を得ただけなのは同じなのに、初めの三囚人問題となぜ違ったのだろうか。
参考文献には、これを感覚的にも納得できるようにする図解が載っているので、詳しくはそちらを見ていただきたい。
さて、ここで全く私見なのだが、
Aが釈放される場合、処刑されるのはBかCであり看守がどちらを答えるかはそれぞれ五分五分
という前提を変形三囚人問題の方にも適用していいのだろうか、という疑問がある。ここで、釈放される確率の重みの違いに応じて、つまりBの方がCに比べて2倍処刑されやすいわけだから
Bと答える：Cと答える=2：1
とすれば
P(Bが処刑という答え|Aが釈放される場合)=2/3
となり
P(Aが釈放される|Bが処刑という答えが得られた場合)
=(2/3)×(1/4)/(1/2+(2/3)×(1/4))
=1/4
となって当初の確率1/4から変化しない。
（これは計算してみれば、1/2とか1/4とかいう場合だけでなくすべての場合で変化しないことがわかる。）
この考えがいいのかどうかはよく分からない。
参考文献
次の本にはもっと詳しく書いてあるらしいが未読。
